Question

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p≠±1的常数），记．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）当p＞1时，设，求数列{p^k+1b_kb_k+1}的前n项和．

Answer

（1）由已知（1-p）Sn=p-pan，可得（1-p）Sn+1=p-pan+1．两式相减可得an+1与pan的递推关系，结合等比数列的通项公式可求
（2）由题意知，p≠±1时，由（1）可求Sn，利用二项式系数的性质可求f（n），进而可求f（n+1），代人可求极限
（3）由（2）可求bn，代入pk+1bkbk+1，利用裂项求和即可求解
【解析】
（1）∵（1-p）Sn=p-pan，①
∴（1-p）Sn+1=p-pan+1．②
②-①，得（1-p）an+1=-pan+1+pan，
即an+1=pan．（3分）
在①中令n=1，可得a1=p．
∴{an}是首项为a1=p，公比为p的等比数列，．（4分）
（2）由题意知，p≠±1时，由（1）可得．

=．
∴=，
f（n+1）=．                  （5分）
=，
所以（8分）
（3）由（2）可得，
又，
所以．         （12分）