Question

已知y=f（x）是函数（a≠0，a∈R）的反函数，
（Ⅰ）解关于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）当a=1时，过点（1，-1）是否存在函数y=f（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若a是使f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立的最小值，试比较与f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]的大小（0＜λ＜1，n∈N^*）．

Answer

（I）先求出函数（a≠0，a∈R）的反函数f（x），把f（x）代入化简后，再对a进行分类讨论，转化为一元二次不等式，则不等式易解；
（Ⅱ）设出切点，用导数工具刻画出函数的单调性和关键点，进而得出切线的情况；
（Ⅲ）把恒成立问题转化为函数的最值来求解a值，再利用，即1+kλ≤21-λ（1+k）λ，来进行证明即可．
【解析】
（1）由已知可得f（x）=lnax，当a＞0时，f（x）的定义域为（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的定义域为（-∞，0）
①当a＞0时，x＞0，原不等式等价于：⇔ax2+2x-1＞0，
可得  ；
②当a＜0时，x＜0，原不等式等价于：⇔ax2+2x-1＜0，
可得  x∈（-∞，0）．                  （4分）
（2）设y=f（x）图象上的切点坐标为（x，f（x）），显然x≠1，
可得，
，，
可得h（x）在（1，+∞）为增区间；（0，1）为减区间，h（x）＞h（1）=1
所以h（x）=0没有实根，故不存在切线．（9分）
（3）∵对x≥1恒成立，所以，
令，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
故lna≥h（1）=0，amin=1．得，f（x）=lnx．
令，，
而，即1+kλ≤21-λ（1+k）λ，
所以，
=f[（1+n）λ2n（1-λ）]．               （14分）