Question

如图所示，在△DEM中，，=（0，-8），N在y轴上，且DN=（DE+DM），点E在x轴上移动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过点F（0，1）作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁与点M的轨迹交于点A、B，l₂与点M的轨迹交于点C、D，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）设M（x，y），E（a，0），则D（0，-8），N（），利用，N在y轴上，化简可得点F的轨迹方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线l1，l2的方程分别与抛物线方程联立，消去x可得，利用韦达定理，结合=，利用基本不等式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）设M（x，y），E（a，0），则D（0，-8），N（）
∵，N在y轴上，
∴（-a，-8）•（x-a，y）=-a（x-a）-8y=0且
∴2x2-8y=0，所以点F的轨迹方程为x2=4y（x≠0）…（6分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
直线l1的方程为：y=kx+1（k≠0），则直线l2的方程为
由y=kx+1与抛物线方程联立，消去x可得：y2-（4k2+2）y+1=0，则y1+y2=4k2+2，y1y2=1
同理可得：y3+y4=+2，y3y4=1
∴==y1y2+y3y4+（y1+y2）+（y3+y4）+2=4（k2+）+4≥12，当且仅当k=±1时，取等号．
∴的最小值为12．    …（12分）