Question

已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5．
（1）求直线PQ与圆C的方程；
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB=90°，求直线l的方程．

Answer

（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；
（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．
【解析】
（1）直线PQ的方程为y-3=×（x+1）
即直线PQ的方程为x+y-2=0，
C在PQ的中垂线y-=1×（x-）
即y=x-1上，
设C（n，n-1），则r2=|CQ|2=（n+1）2+（n-4）2，
由题意，有r2=（2）2+|n|2，
∴n2+12=2n2-6n+17，
∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），
∴圆C的方程为（x-1）2+y2=13．
（2）设直线l的方程为x+y+m=0，
由，
得2x2+（2m-2）x+m2-12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=1-m，x1x2=，
∵∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+（x1+m）（x2+m）=0，整理得m2+m-12=0，
∴m=3或-4（均满足△＞0），
∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0．