Question

如图：已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为4的正方形，高AA₁=4，P为CC₁的中点，AC、BD交于O
（I）求证：BD⊥面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求证：BD⊥OP；
（Ⅲ）求三棱锥P-A₁DB的体积．

Answer

（1）根据线面垂直的判定定理，要证BD⊥面A1ACC1，只证BD⊥AC，BD⊥AA1即可；
（2）由（1），利用线面垂直的性质可证BD⊥OP；
（3）以△BDP为底，点A1到面BDP的距离为高，根据锥体体积公式可求，其中点A1到面BDP的距离可建立坐标系用向量求得；
【解析】
（1）证明：在长方体AC1中，∵底面ABCD是边长为4的正方形，∴对角线BD⊥AC．
又∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥BD．
AC∩A1A=A，AC⊂面A1ACC1，A1A⊂面A1ACC1；
∴BD⊥面A1ACC1．
（2）由（1）知，BD⊥面A1ACC1，且OP⊂面A1ACC1．
∴BD⊥OP．
（3）分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（4，4，0），A1（4，0，4），P（0，4，2），
=（0，-4，4），=（0，4，2），=（4，4，0），
设=（x，y，z）为平面DBP的一个法向量，
则，即，取=（1，-1，），
点A1到平面平面DBP的距离d=||×|cos＜，＞|=||×||==6，
BD=4，OP===4，
则S△BDP=×BD×OP=×4×4=8，
所以三棱锥P-A1DB的体积V=×S△BDP×d=×8×6=16．