Question

等比数列{x_n}各项均为正值，y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值是多少？
（3）求数列{|y_n|}的前n项和．

Answer

（1）要证数列{yn}是等差数列，只需证yn+1-yn为定值即可；
（2）由（1）知{yn}是等差数列，知y4=17，y7=11，可求yn，由yn≥0可判断其前多少项的和为最大，从而可求其最大值；
（3）由（2）可知当n≤12时yn＞0；当n≥13时，yn＜0，求数列{|yn|}的前n项和需分 当1≤n≤12 与当n≥13两种情况分别求得．
【解析】
（1）∵{xn}是等比数列，设其公比为q，（定值），yn+1-yn=2（logaxn+1-logaxn）=2logaq（是定值），
    所以数列{yn}是等差数列．                                     4'
   （2）由（1）知{yn}是等差数列，y7=y4+3d即 11=17+3d
∴d=-2，yn=17+（n-4）d=25-2n6'
    由
    当n≤12时yn＞0；当n≥13时，yn＜0所以数列{yn}的前12项和最大；
∵y1=23，
∴最大值；                           9′
   （3）设{|yn|}的前n项和为Tn，
∵当n≤12时yn＞0；当n≥13时，yn＜0，
∴当1≤n≤12时 Tn=Sn=24n-n211′
   当n≥13时，Tn=a1+a2+…+a12-a13-…-an=S12-（Sn-S12）=2S12-Sn=2×144-24n+n213′
   所以                  14'