Question

已知函数F（x）=，x＞0，a＞0．
（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范围和相应的m，n的值．

Answer

（1）直接利用函数单调性的定义判断函数在（0，+∞）上的单调性；
（2）由（1）得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，函数在[m，n]上也为增函数，再由f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），说明f（m）=m，f（n）=n，从而说明m和n是方程ax2-x+a=0的两实根，由该方程的判别式大于0，结合已知a＞0可求a的取值范围，利用求根公式得到m和n的值．
【解析】
（1）f（x）在定义域上单调递增．证明如下
任取x1＞x2＞0，
则
=．
∵x1＞x2＞0，∴x1-x2＞0，x1x2＞0．
∴．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）由（1）知f（x）在[m，n]上单调递增，
则f（x）在[m，n]上的值域是[f（m），f（n）]．
即，．
∴m，n为方程ax2-x+a=0的两实根，
∴△=1-4a2＞0，
∴，又a＞0，可得．
则，．