Question

已知函数f（x）=lnx-．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=-x²+2bx-4，若对任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂） 恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求f′（x），在函数定义域内利用导数与函数单调性关系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（Ⅱ）由题意不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，可转化为f（x）min≥g（x）max，或分离出参数后再求函数最值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=lnx-x+-1的定义域是（0，+∞）．
f′（x）==，
由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函数f（x）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，
所以当x∈（0，2）时，，
对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，
问题等价于-≥g（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即恒成立．
不等式可变为b，
因为x∈[1，2]，所以，当且仅当，即x=时取等号．
所以b，
故实数b的取值范围是（]．