Question

如图所示，某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD，其长为32米，宽为18米，现要在此空地上种植一块矩形草坪，三边留有人行道，人行道宽度为a米与b米均不小于2米，且要求“转角处（图中矩形AEFG）”的面积为8平方米
（1）试用a表示草坪的面积S（a），并指出a的取值范围
（2）如何设计人行道的宽度a、b，才能使草坪的面积最大？并求出草坪的最大面积．
（3）直接写出（不需要给出演算步骤）草坪面积的最小值及此时a的值．

Answer

（1）由条件可知ab=8，即b=结合b≥2 可求a的范围，而S（a）=（32-2a）（18-b）==592-4（9a+），
（2）利用基本不等式可求解9a+的最小值，进而可求S的最大值
（3）结合函数的性质可知，当a=4时可得S（a）有最小值384m2
【解析】
（1）由条件可知ab=8，即b=
∵b≥2∴，则a≤4∵a≥2
∴2≤a≤4
S（a）=（32-2a）（18-b）==592-4（9a+）
（2）∵
当且仅当9a=即时取等号，S（a）取得最大值400m2
（3）当a=4时S（a）有最小值384m2