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高中数学试题
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已知椭圆的左顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且圆C:过A,F2两点. (1...
已知椭圆
的左顶点为A,左、右焦点分别为F
1
,F
2
,且圆C:
过A,F
2
两点.
(1)求椭圆标准的方程;
(2)设直线PF
2
的倾斜角为α,直线PF
1
的倾斜角为β,当β-α=
时,证明:点P在一定圆上;
(3)设椭圆的上顶点为Q,证明:PQ=PF
1
+PF
2
.
(1)由圆C:确定A,F2两点的坐标,即可求得椭圆方程; (2)设点P(x,y),因为F1(-,0),F2(,0),则可求,,利用β-α=,及差角的正切公式,即可证得结论; (3)利用两点间的距离公式,计算|PQ|2=12-4y,计算出(|PF1|+|PF2|)2,即可得到结论. (1)【解析】 圆与x轴交点坐标为,, 故,所以b=3, ∴椭圆方程是:. (2)证明:设点P(x,y),因为F1(-,0),F2(,0),则=tanβ=,=tanα=, 因为β-α=,所以tan(β-α)=-. 因为tan(β-α)==,所以=-. 化简得x2+y2-2y=3. 所以点P在定圆x2+y2-2y=3上. (3)证明:∵|PQ|2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9,x2+y2=3+2y,∴|PQ|2=12-4y. 又|PF1|2=(x+)2+y2=2y+6+2x,|PF2|2=(x-)2+y2=2y+6-2x, ∴2|PF1|×|PF2|=2=4, 因为3x2=9-3y2+6y,所以2|PF1|×|PF2|=4, ∵β=α+>,又点P在定圆x2+y2-2y=3上,∴y<0, 所以2|PF1|×|PF2|=-8y, 从而(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+2|PF1|×|PF2|+|PF2|2=4y+12-8y=12-4y=|PQ|2. 所以|PQ|=|PF1|+|PF2|.
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考点分析:
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如图所示,某学校的教学楼前有一块矩形空地ABCD,其长为32米,宽为18米,现要在此空地上种植一块矩形草坪,三边留有人行道,人行道宽度为a米与b米均不小于2米,且要求“转角处(图中矩形AEFG)”的面积为8平方米
(1)试用a表示草坪的面积S(a),并指出a的取值范围
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(3)直接写出(不需要给出演算步骤)草坪面积的最小值及此时a的值.
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如图已知在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AA
1
⊥面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分别是AA
1
,BB
1
,AB,B
1
C
1
的中点,
(1)求证:面PCC
1
⊥面MNQ;
(2)求证:PC
1
∥面MNQ.
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,
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.
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=
,则
的取值范围是
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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