Question

已知圆满足：
①截y轴所得的弦长为2；
②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x-2y=0的距离为．
求该圆的方程．

Answer

依题意，可设所求圆心为P（a，b），半径为r，由①截y轴所得的弦长为2可得r2=a2+1；由②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1可知劣弧所对的圆心角为90°，从而有r=b；再由③圆心到直线l：x-2y=0的距离为可得a-2b=±1，综合可求得a，b的值，从而可得该圆的方程．
【解析】
设所求圆心为P（a，b），半径为r，则圆心到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，
因圆P截y轴得弦长为2，由勾股定理得r2=a2+1，又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3：1，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
故r=b，即r2=2b2，
∴2b2-a2=1①，
又∵P（a，b）到直线x-2y=0的距离为，
即=，
即a-2b=±1．②
解①②组成的方程组得：或，于是即r2=2b2=2，
∴所求的圆的方程为（x+1）2+（y+1）2=2或（x-1）2+（y-1）2=2．