Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA=2．
（1）求三棱锥P-ABC的体积V；
（2）求异面直线AB与PC所成角的大小．

Answer

（1）由题意，可得PA就是三棱锥P-ABC的高，而底面△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥P-ABC的体积V；
（2）取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接AG，由三角形中位线定理可得∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的长，用中位线定理得到EF=FG=，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得异面直线AB与PC所成角的大小．
【解析】
（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA=h，是三棱锥P-ABC的高，…（3分）
因此，三棱锥P-ABC的体积为
=．…（6分）
（2）取PA中点E，PB中点F，BC中点G，
连接EF，FG，EG，
∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线
∴EF∥AB，FG∥PC，
因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．…（2分）
连接AG，则Rt△AEG中，，…（3分）
，…（4分）
又∵，∴．…（5分）
由此可得，在△EFG中
，…（7分）
结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．
综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．…（8分）