Question

如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）设动点P满足|PF|²-|PB|²=3，求点P的轨迹；
（2）若x₁=3，，求点T的坐标．

Answer

（1）由椭圆标准方程求出B和F点的坐标，设出动点P的坐标，然后直接由关系式|PF|2-|PB|2=3求点P的轨迹；
（2）题目给出了M和N点的横坐标，把两个点的坐标代入椭圆方程求得两个点的纵坐标，然后求出经过A、M和B、N的两条直线方程，则点T的坐标可求．
【解析】
（1）由已知得a=4，b=，c=3，
则B（4，0），F（3，0），
设P（x，y），
由|PF|2-|PB|2=3，得[（x-3）2+y2]-[（x-4）2+y2]=3，
化简得，x=5．
所以动点P的轨迹是直线x=5．
（2）由x1=3，，则M（3，y1），
将M（3，y1）和代入得，，
解得，
因为y1＞0，y2＜0，所以，．
所以，．
又因为A（-4，0），B（4，0），
所以直线MA的方程为，直线NB的方程为．
由，
解得．
所以点T的坐标为（8，3）．