Question

椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是    ．

Answer

先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．
【解析】
设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（4a-AE）+（4a-BE）=8a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤8a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2a．
此时直线x=m=c=a；
把x=a代入椭圆的方程得：y=±a．
∴AB=3a．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3a×EF=×3a×2a=3a2．
故答案为：3a2．