Question

某海域有A、B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群．以A、B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A、B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5：3，问你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？

Answer

（1）根据椭圆的定义，由题意知曲线C是以A、B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c=4，从而得出a，b的值即可得到曲线C的方程；
（2）由于A、B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3，因此设此时距A、B两岛的距离分别比为5：3，即鱼群分别距A、B两岛的距离为5海里和3海里．再设P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，及椭圆的方程列出方程组即可解出点P的坐标．
【解析】
（1）由题意知曲线C是以A、B为焦点且长轴长为8的椭圆         （3分）
又2c=4，则c=2，a=4，故（5分）
所以曲线C的方程是（6分）
（2）由于A、B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5：3，
因此设此时距A、B两岛的距离分别比为5：3（7分）
即鱼群分别距A、B两岛的距离为5海里和3海里．       （8分）
设P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，
∴，（10分）∴，（12分）
∴x=2，y=±3（13分）．
∴点P的坐标为（2，3）或（2，-3）（14分）．