Question

等比数列{c_n}满足，n∈N^*，数列{a_n}满足
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．求；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=40，结合等比数列的通项公式可求公比q及c1，代入等比数列的通项公式可求cn，然后由可求an，
（2）由=，考虑利用裂项求和即可求解Tn，进而可求
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，结合（2）代入可得，解不等式可求m的范围，然后结合m∈N*，m＞1可求
【解析】
（1）【解析】
由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=c1q+c2q=40，
所以公比q=4（2分）
∴c1+4c1=10
∴c1=2（3分）
由等比数列的通项公式可得，（4分）
∵=22n-1
∴an=2n-1（15分）
（2）∵=
∴（6分）
于是（8分）
∴=（10分）
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列，
则，（12分）
可得，
由分子为正，解得，
由m∈N*，m＞1，得m=2，此时n=12，
当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列．             （16分）
说明：只有结论，m=2，n=12时，T1，Tm，Tn成等比数列．若学生没有说明理由，则只能得 13分