Question

在平面直角坐标系xOy中，点A_n满足，且；点B_n满足，且，其中n∈N^*．
（1）求的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）记四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积为a_n，求a_n的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的正整数P，使得对任意n∈N^*都有a_n＜P成立？若存在，求P的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用向量的运算法则、等差数列的定义及通项公式即可证明；
（2）利用向量的运算法则和逐差累和即可求得点Bn的坐标，及-即可求出．
（3）利用（2）的结论及作差法，求出an+1-an，进而即可判断出答案．
【解析】
（1）由已知条件得，，=，∴，
∵，∴
设，则xn+1-xn=1，yn+1-yn=1
∴xn=0+（n-1）•1=n-1；yn=1+（n-1）•1=n．
即An=（n-1，n）满足方程y=x+1，∴点An在直线y=x+1上．
（2）由（1）得An（n-1，n），，
设Bn（un，vn），则u1=3，v1=0，vn+1-vn=0，∴vn=0，
，逐差累和得，，
∴．
设直线y=x+1与x轴的交点P（-1，0），则an=，n∈N*．
（3）由（2）an=，n∈N*
，
于是，a1＜a2＜a3＜a4=a5，a5＞a6＞a7＞…
数列{an}中项的最大值为，则，即最小的正整数p的值为6，
所以，存在最小的自然数p=6，对一切n∈N*都有an＜p成立．