Question

设函数．
（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数f_n（x）在区间内的零点；
（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间内存在唯一的零点；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer

（1），令f2（x）=0，得到f2（x）在区间（，1）内的零点．
（2）由，fn（1）＞0．知fn（1）＜0．从而得到fn（x）在内存在零点．利用定义法推导出fn（x）在内单调递增，由此能够证明fn（x）在内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c．对任意x1，x2∈[-1，1]都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，等价于f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．由此进行分类讨论能求出b的取值范围．
【解析】
（1），
令f2（x）=0，得，
所以f2（x）在区间（，1）内的零点是x=．
（2）证明：因为 ，fn（1）＞0．
所以fn（1）＜0．
所以fn（x）在内存在零点．
任取x1，x2∈（，1），且x1＜x2，
则fn（x1）-fn（x2）=（）+（x1-x2）＜0，
所以fn（x）在内单调递增，
所以fn（x）在内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c．
对任意x1，x2∈[-1，1]都有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，
等价于f2（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．
据此分类讨论如下：
①当，即|b|＞2时，M=|f2（1）-f2（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．
②当-1≤＜0，即0＜b≤2时，M=f2（1）-f2（）=（+1）2≤4恒成立．
③当0≤≤1，即-2≤b≤0时，M=f2（-1）-f2（）=（-1）2≤4恒成立．
综上可知，-2≤b≤2．