Question

第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦召开，某百货公司预计从2012年1月起前x个月市场对某种奥运商品的需求总量，（x∈N^*，且x≤12）．该商品的进价q（x）与月份x的近似关系为q（x）=150+2x（x∈N^*，x≤12）．
（1）求2012年第x个月的需求量f（x）；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则该百货公司2012年仅销售该商品可获月利润预计最大是多少？

Answer

（1）由题意得，第x个月的需求量等于第x个月的需求总量减去第x-1个月的需求总量，当x=1时，f（1）=p（1），当2≤x≤12时，f（x）=p（x）-P（x-1）；
（2）根据月利润=该商品每件的利润×月销售量，列出关系式，再利用导数求最值求解即可．
【解析】
（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37．（2分）
当2≤x≤12时，f（x）=p（x）-p（x-1）
=x（x+1）（39-2x）-（x-1）x（41-2x）
=-3x2+40x，（x∈N*且x≤12）（5分）
验证x=1符合f（x）=-3x2+40x，
∴f（x）=-3x2+40x（x∈N*且x≤12）．（7分）
（2）该商场预计销售该商品的月利润为
g（x）=（-3x2+40x）（185-150-2x）
=6x3-185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x3-185x2+1400x（1≤x≤12），
h'（x）=18x2-370x+1400，
令h'（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．（10分）
当1≤x＜5时，h'（x）＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．
∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．（12分）
∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（元）．
综上，5月份的月利润最大是3125元．（14分）