Question

已知数列{a_n}，记A（n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+a₄+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+a₅+…+a_n+2，（n=1，2，3，…），并且对于任意n∈N^*，恒有a_n＞0成立．
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

Answer

（1）由等差中项化简可得，可得{an}为等差数列，进而可得通项公式；
（2）由等比数列的定义，结合题意从充分性和必要性两方面来证明．
【解析】
（1）由题意可得2B（n）=A（n）+C（n），
代入可得2（a2+a3+a4+…+an+1）=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a3+a4+…+an+1），
化简可得，所以．
∴数列{an}的通项公式
（2）（必要性）若数列{an}是公比为q的等比数列，
则，，
所以A（n）、B（n）、C（n）组成公比为q的等比数列．
（充分性）：若对于任意n∈N*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得an+2-a2=q（an+1-a1），即an+2-qan+1=a2-a1．
由n=1有B（1）=qA（1），即a2=qa1，从而an+2-qan+1=0．
因为an＞0，所以，故数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上可得，数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的n∈N*，都有A（n）、B（n）、C（n）组成公比为q的等比数列．