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如图,椭圆manfen5.com 满分网的左焦点为F1,右焦点为F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,△ABF2的周长为8,且△AF1F2面积最大时,△AF1F2为正三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系?
②在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,说明理由.

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(1)利用椭圆的定义、等边三角形的性质即可得出; (2)①判断圆心到x轴的距离与半径的大小关系即可得出; ②假设平面内存在定点M满足条件,则由对称性知点M在x轴上,再利用直径所对的圆周角是直角即可求出. 【解析】 (1)∵△ABF2的周长为8,∴4a=8,∴a=2. 又当△AF1F2面积最大时为正三角形,∴A(0,b),a=2c,∴c=1,b2=3, ∴椭圆E的方程为 (2)①由,得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0 由直线与椭圆相切得m≠0,△=0,⇒4k2-m2+3=0. 求得,Q(4,4k+m),PQ中点到x轴距离 . 所以圆与x轴相交. ②假设平面内存在定点M满足条件,由对称性知点M在x轴上,设点M坐标为M(x1,0),. 由,得. ∴,即x1=1. 所以定点为M(1,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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