Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=a_n-1+（）ⁿ（n≥2），且n∈N^*），则数列{a_n}中项的最大值为    ．

Answer

把给出的数列递推式an=an-1+（）n变形后得到新数列{3nan}，该数列是以3为首项，以1为公比的等比数列，求出其通项公式后，进一步求出数列{an}的通项公式，结合数列的函数特性分析出其单调性，从而求出数列{an}中项的最大值．
【解析】
由an=an-1+（）n（n≥2），
得：（n≥2），
即（n≥2），
所以，{3nan}构成以3a1=3为首项，以1为公差的等差数列．
则3nan=3+（n-1）×1=n+2，
所以，．
令，则=，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数，
所以，在n=1时有最大值，最大值．
则数列{an}中项的最大值为1．
故答案为1．