Question

在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O．设M是线段AO上一点，且满足∠BMC=90°，则=    ．

Answer

延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点，设正四面体ABCD棱长为1，MO=x，在Rt△BOM中，根据BM=，建立关于x的方程并解之，得x=，再结合正四面体的高AO=，得出MO=AM=，从而得到所求的比值．
【解析】
延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点
设正四面体ABCD棱长为1，得
等边△ABC中，BN=BC=
∵AO⊥平面BCD，
∴O为等边△ABC的中心，得BO=BN=
Rt△ABO中，AO==
设MO=x，则Rt△BOM中，BM==
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=BC，即=，解之得x=
由此可得AM=AO-MO=，所以MO=AM=，得=1
故答案为：1