Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率为．
（ I）求椭圆的标准方程；
（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设==λ，试求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为程（a＞b＞0），由题设条件求出b2和a2，由此可以求出椭圆的标准方程；
（ II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x，y），分两种情况讨论：①若直线l与y轴重合，此时λ易解得；②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得一元二次方程，由韦达定理及==λ可得，进而可求出y值，结合图象可得1＜y1＜，再由λ与y1的关系即可求得λ的取值范围；
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），
因为它的一个顶点为A（0，），所以b2=2，由离心率等于，
得=，解得a2=8，
所以椭圆的标准方程为．
（ II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x，y），
①若直线l与y轴重合，则==λ⇒==λ，解得y=1，得λ=；
②若直线l与y轴不重合，设直线l的方程为y=kx+2，
与椭圆方程联立消去y，得（1+4k2）x2+16kx+8=0，
根据韦达定理得，x1+x2=-，x1x2=，（*）
由==λ，得，
整理得2x1x2=x（x1+x2），把上面的（*）式代入得，
又点N在直线y=kx+2上，所以，于是由图象知1＜y1＜，
-1，由1＜y1＜，得＞+1，所以．
综上所述，．