Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明函数f（x）在D上是增函数；
（3）如果当x∈（t，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值．

Answer

（1）直接由真数大于0，解分式不等式可得函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性；
（2）直接利用函数的单调性定义证明，作差整理后出现对数式，这需要证明对数式的真数与1的大小关系，可以单独拿出运用作差法；
（3）给出的函数是对数型的复合函数，经分析可知内层分式函数为减函数，外层对数函数也为减函数，要保证
当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），首先应有（t，a）⊆（-1，1），且当x∈（t，a）时，
∈（a，+∞），结合内层函数图象及单调性可得t=-1，且，从而求出a和t的值；
【解析】
（1）要使原函数有意义，则，解得-1＜x＜1，
所以函数f（x）的定义域D=（-1，1）．
函数f（x）在定义域内为奇函数．
证明：对任意x∈D，
所以函数f（x）是奇函数．
另证：对任意x∈D，
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则．
∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
∴1-x1x2+（x2-x1）-[1-x1x2-（x2-x1）]=2（x2-x1）＞0．
∴1-x1x2+（x2-x1）＞[1-x1x2-（x2-x1）]=（1-x1）（1-x2）＞0．
∴．
∵0＜a＜1，
∴
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在D上是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（-1，1）上是增函数，
又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），
所以（t，a）⊆（-1，1）且在（t，a）的值域是（a，+∞），
故且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）
由，得：a2+a=1-a，解得：或a=（舍去）．
所以，t=-1．