Question

设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，已知
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）是否存在k∈N^*，使得，若存在，求出k的值；若不存在请说明理由；
（3）证明：对任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有．

Answer

（1）首先在递推式中取n=1求出a1，再取n=n+1得另一递推式，两式作差后可得到数列是等差数列，从而可求通项公式；
（2）假设存在k∈N*，使得，代入通项公式和前n项和公式后可求k的值；
（3）由等差数列的前n项和求得Sm，Sp，Sk，把要证明的不等式作差后利用基本不等式放缩后可得结论．
（1）【解析】
∵，
∴当n≥2时，．
两式相减得，
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，∴an-an-1=2，
又，∴a1=1
∴{an}是以a1=1为首项，d=2为公差的等差数列． 
∴an=a1+（n-1）d=2n-1；
（2）【解析】
由（1）知，
假设正整数k满足条件，
则（k2）2=[2（k+2048）-1]2
∴k2=2（k+2048）-1，
解得k=65；                         
（3）证明：由得：
于是
∵m、k、p∈N*，m+p=2k，
∴
=．
∴．