Question

已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=    ．

Answer

根据球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，得出AB=BC=CA=R，利用其周长得到正三角形ABC的外接圆半径r=2，故可以得到高，设D是BC的中点，在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．
【解析】
∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=，
∴AB=BC=CA=R，设球心为O，
因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，
所以BC=BO=R，BD=BC=R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2．
故答案为：2．