Question

已知定义域为R的二次函数f（x）的最小值为0且有f（1+x）=f（1-x），直线g（x）=4（x-1）被f（x）的图象截得的弦长为，数列{a_n}满足，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0（n∈N^*）．
（1）函数f（x）；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最值及相应的n．

Answer

（I）设f（x）=a（x-1）2（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），，由，由此得到f（x）．
（II）由（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0，知（an-1）（4an+1-3an-1）=0∵a1=2，所以an≠1，4an+1-3an-1=0，由此能求出数列{an}的通项公式．
（III）bn=3（an-1）2-4（an+1-1）=．令则．数列{bn}的最值及相应的n．
【解析】
（I）设f（x）=a（x-1）2（a＞0），则直线g（x）=4（x-1）与y=f（x）图象的两个交点为（1，0），∵∴a=1，f（x）=（x-1）2…（3分）
（II）∵（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0∴
（an-1）（4an+1-3an-1）=0∵a1=2，∴an≠1，4an+1-3an-1=0
∴数列{an-1}是首项为1，公比为的等比数列
∴…（9分）
（III）bn=3（an-1）2-4（an+1-1）=
令则∵n∈N*，
∴u的值分别为…，经比较距最近，
∴当n=3时，bn有最小值是，当n=1时，bn有最大值是0．…（14分）