Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

Answer

根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与AC长，再利用面积公式与体积公式计算即可．
【解析】
（1）连接OM，则OM⊥AB

设OM=r，OB=-r，在△BMO中，sin∠ABC==⇒r=
∴S=4πr2=π．
（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，∴AC=1．
∴V=V圆锥-V球=π×AC2×BC-πr3=π×-π×=π．