Question

已知函数f（x）=+．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）=•[f²（x）-2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；
（3）对（2）中g（a），若-m²+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由1+x≥0且1-x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；
（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=-1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=-与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；
（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，-≤g（a）对a＜0恒成立，即要使-≤gmin（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．
【解析】
（1）由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，
所以函数的定义域为[-1，1]，
又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，
所以函数值域为[，2]；
（2）因为F（x）==a++，
令t=f（x）=+，则=-1，
∴F（x）=m（t）=a（-1）+t=，t∈[，2]，
由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．
注意到直线t=-是抛物线m（t）=的对称轴．
因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，
①若t=-∈（0，]，即a≤-，则g（a）=m（）=；
②若t=-∈（，2]，即-＜a≤-，则g（a）=m（-）=-a-；
③若t=-∈（2，+∞），即-＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，
综上有g（a）=，
（3）易得，
由-≤g（a）对a＜0恒成立，即要使-≤gmin（a）=恒成立，
⇒m2-2tm≥0，令h（t）=-2mt+m2，对所有的t∈[-1，1]，h（t）≥0成立，
只需，
解得m的取值范围是m≤-2或m=0，或m≥2．