Question

已知函数f（x）=kx+m，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…，依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中k、m为常数，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若m=2，问是否存在常数k＞0，使得数列{b_n}满足．若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若k＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₁₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₁₀）．

Answer

（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数，所以其值域为[an-1+m，bn-1+m]=[an，bn]，从而发现数列
{an}，{bn}均为等差数列，易得其通项公式
（2）因为f（x）=kx+2（k＞0），当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数，所以f（x）的值域为[kan-1+2，kbn-1+2]
=[an，bn]，所以bn=kbn-1+2（n≥2），再由极限的四则运算列方程可求出k
（3）因为k＜0，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调减函数，所以f（x）的值域为[kbn-1+m，kan-1+m]
于是an=kbn-1+m，bn=kan-1+m（n∈N*，n≥2）则bn-an=-k（bn-1-an-1），从而数列{bn-an}为一个以1为首项，-k为公比的等比数列，进而得到此数列的前n项和Tn-Sn 公式，再求数列{Tn-Sn }的前n项和即可得所求解
【解析】
（1）因为f（x）=x+m，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数，
所以其值域为[an-1+m，bn-1+m]
于是an=an-1+m，bn=bn-1+m（n∈N*，n≥2）
又a1=0，b1=1，所以an=（n-1）m，bn=1+（n-1）m．
（2）因为f（x）=kx+m（k＞0），当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调增函数
所以f（x）的值域为[kan-1+m，kbn-1+m]，因m=2，则bn=kbn-1+2（n≥2）
假设存在常数k＞0，使得数列，
得符合．
故存在k=，使
（3）因为k＜0，当x∈[an-1，bn-1]时，f（x）为单调减函数，
所以f（x）的值域为[kbn-1+m，kan-1+m]
于是an=kbn-1+m，bn=kan-1+m（n∈N*，n≥2）
则bn-an=-k（bn-1-an-1）
又b1-a1=1，∴bn-an=（-k）n-1
∴Tn-Sn=

进而有