Question

函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （ ）
A．a²+b²=0
B．a+b=0
C．a=b
D．ab=0

Answer

由给出的函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，且0在其定义域中，由f（0）=0求出b的值，再取特殊值f（-1）=-f（1）求出a的值，然后证明当a=b=0时函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，从而可得结论．
【解析】
因为函数f（x）的定义域为[-1，1]，且函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，
则，f（0）=0，即barccos0=0，
所以，b=0．
再由f（-1）=-f（1），得：
-|arcsin（-1）+a|+barccos（-1）=-|arcsin1+a|+barccos1，
即-|+a|+πb=-|+a|，
||=||，
所以，a=0
所以，函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的必要条件是a=0，b=0．
下面证明充分性
若a=0，b=0．
则f（x）=x|arcsinx|，
f（-x）=-x|srxsin（-x）|=-x|-arcsinx|=-x|arcsinx|=-f（x）．
所以f（x）是奇函数．
综上，f（x）是奇函数的充要条件是 a=0且b=0，即a2+b2=0．
故选A．