Question

已知下列命题：
①∀x∈R，|x-1|+|x+2|＞2；
②命题p：∀x∈R，x²+x+1≠0，则￢p：∃x∈R，x²+x+1=0；
③“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件；
④已知随机变量P～N（2，σ²），P（ξ＜4）=0.6，则P（0＜ξ＜2）=0.1，
其中真命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①根据绝对值不等式|a|+|b|≥|a±b|，可求得|x-1|+|x+2|的最小值，然后确定①的真假；
②根据命题p：“∀x∈R，x2+x+1≠0”是全称命题，其否定为特称命题，将“任意的”改为“存在”，“≠“改为“=”即可得答案．
③判断由前者能否推出后者成立，反之通过解二次不等式判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．
④随机变量P～N（2，σ2），得出正态分布曲线关于ξ=2对称，由此得出P（ξ＜0）=P（ξ＞4），再利用P（ξ＜4）=0.6，求出P（0＜ξ＜2）的值即得答案．
【解析】
①∵|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3.2，∴①∀x∈R，|x-1|+|x+2|＞2，正确．
②：∵命题p：“∀x∈R，x2+x+1≠0”是全称命题
∴¬p：∃x∈R，x2+x+1=0．故②是真命题．
③当x＞2成立时，有x2-3x+2＞0成立，
当x2-3x+2＞0成立时，有x＞2或x＜1，不一定有x＞2成立
故“x＞2”是x2-3x+2＞0的充分不必要条件，正确；
④：∵随机变量P～N（2，σ2），
∴正态分布曲线关于ξ=2对称，
又ξ＜0与ξ＞4关于ξ=2对称，
∴P（ξ＞4）=P（ξ＜0），
∴P（ξ＜0）=0.4，
又∵P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜4）=[1-2P（ξ＜0）]
∴P（0＜ξ＜2）=-P（ξ＜0）=0.1，故④正确．
故选D．