Question

设f（x）是定义在R上的函数，对x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且当x∈[-2，0]时，，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

Answer

确定函数为周期函数，是定义在R上的偶函数，再将问题转化为函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，即可求得结论．
【解析】
∵对于任意的x∈R，都有f（x）•f（x+2）=10，∴
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
∵对x∈R都有f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
∴函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=3，则有 loga4＜3，且loga8＞3，解得：＜a＜2，
故a的取值范围是（，2）．
故选D．