Question

已知函数的最小正周期为6π．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求cos（α+β）的值．

Answer

（Ⅰ）函数f（x）解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，根据已知的周期，利用周期公式求出ω的值，确定出函数解析式，即可求出所求式子的值；
（Ⅱ）由第一问确定出的函数解析式化简已知两等式求出sinα与cosβ的值，由α与β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinβ的值，将所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=sinωx-cosωx=2sin（ωx-），
∵函数f（x）的最小正周期为6π，
∴T==6π，即ω=，
∴f（x）=2sin（x-），
∴f（）=2sin（×-）=2sin=2×=；
（Ⅱ）∵f（3α+）=sin[（3α+）-]=2sinα=-，
∴sinα=-，
∵f（3β+2π）=2sin[（3β+2π）-]=2sin（β+）=2cosβ=，
∴cosβ=，
∵α，β∈[-，0]，
∴cosα==，sinβ=-=-，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×（-）=．