Question

在一次射击比赛中，某人向目标射击4次，每次击中目标的概率为，该目标分为红、蓝、黄三个区域，三个区域面积之比为2：3：5，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
（1）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列及数学期望；
（2）若目标被击中2次，A表示事件“红色区域至少被击中1次或蓝色区域被击中2次”，求P（A）．

Answer

（1）由题意知目标被击中的次数X的取值是0、1、2、3、4，当X=0时表示四次射击都没有击中，当X=1时表示四次射击击中一次，以此类推，理解变量取值不同时对应的事件，用独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列，算出数学期望；
（2）红色区域至少被击中1次或蓝色区域被击中2次所表示的事件，记出事件，根据事件之间的互斥关系，表示出事件，用相互独立事件同时发生和互斥事件的概率公式，得到结果．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，X的取值为0，1，2，3，4．
P（X=0）=，P（X=1）=．
P（X=2）=，P（X=3）=．
P（X=4）=．    …（4分）
即X的分布列为

X 1 2 3 4
P

…（5分）
EX=4×．    …（6分）
（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中红色区域”，A2表示事件“第二次击中目标时，击中蓝色区域”，B1表示事件“第二次击中目标时，击中红色区域”，B2表示事件“第二次击中目标时，击中蓝色区域”
依题意可知P（A1）=P（B1）=0.2，P（A2）=P（B2）=0.3．…（8分）
A=A1∪B1∪A1B1∪A2B2
∴P（A）=P（A1）+P（B1）+P（A1B1）+P（A2B2）
=0.2×0.8+0.8×0.2+0.2×0.2+0.3×0.3
=0.45．    …（12分）