Question

设点F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点．
（1）求数量积的取值范围；
（2）设过点F₁且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer

（1）由P为椭圆C上任意一点，可得出点P的横坐标的取值范围，再利用向量的数量积的计算公式即可求出；
（2）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系即可得到线段AB的中点坐标，再利用已知即可得出线段AB的垂直平分线NG的方程．
【解析】
（1）由题意，可求得F1（-1，0），F2（1，0）．              
设P（x，y），则有，，
，
∴．                                           
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0，（*）       
∵直线AB过椭圆的左焦点F1，∴方程*有两个不相等的实根．
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x，y），则，，．                 
线段AB的垂直平分线NG的方程为．             
令y=0，则xG=x+ky===．
∵k≠0，∴．即点G横坐标的取值范围为．