Question

若数列{b_n}满足：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若则{c_n}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{c_n}的第8项c₈、第9项c₉以及前9项的和T₉；
（2）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₆₃＞2012，求a的取值范围．

Answer

（1）由已知把n=8，n=9分别代入数列的通项可求c8，c9，然后结合等差数列的求和公式可求T9
（2）由an+an+1=2n可得an+1+an+2=2（n+1），两式相减可知an+2-an=2，结合n的奇偶及等差数列的通项公式可求
（3）法一：在S63=a1+a2+…+a63中，有32各奇数项，31各偶数项，分组结合等差数列的求和公式可求S63，然后结合已知不等式可求a的范围
法二：当n为偶数时，a1+a2=2×1，a3+a4=2×3，…an-1+an=2×（n-1），然后各式相加可求Sn，而S63=S62+a63
代入可求S63，然后结合已知不等式可求a的范围
【解析】
（1）c8=41，c9=35（2分）
．（4分）
（2）∵an+an+1=2n①an+1+an+2=2（n+1）②
②-①得an+2-an=2．
所以，{an}为公差为2的准等差数列．                                （2分）
当n为奇数时，；                        （2分）
当n为偶数时，，（2分）
∴
（3）解一：在S63=a1+a2+…+a63中，有32各奇数项，31各偶数项，
所以，．（4分）
∵S63＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）
解二：当n为偶数时，a1+a2=2×1，a3+a4=2×3，…an-1+an=2×（n-1）
将上面各式相加，得．
∵（4分）
∵S63＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）