Question

如图，已知F₁、F₂分别为椭圆的上、下焦点，其中F₁也是抛物线的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P（1，3）和圆O：x²+y²=b²，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（λ≠0且λ≠±1），
求证：点Q总在某条定直线上．

Answer

（1）解法一：利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；
解法二：同解法一求出点M的坐标，再利用椭圆的标准方程及参数a，b，c的关系即可求出．
（2）方法一：利用已知向量相等及点A，B在圆上满足圆的方程即可证明；
方法二：利用向量相等、直线与圆相交问题得到根与系数的关系即可证明．
【解析】
（1）解法一：令M为（x，y），因为M在抛物线C2上，故，①
又，则②
由①②解得，
椭圆C1的两个焦点为F1（0，1），F2（0，-1），点M在椭圆上，由椭圆定义，得2a=|MF1|+|MF2|=
∴a=2，又c=1，∴b2=a2-c2=3
∴椭圆C1的方程为．
解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即，
又c=1，即b2=a2-1，解得a2=4，b2=3∴椭圆C1的方程为．
（2）证明：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y）
由，可得（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3），
即
由，可得（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y），

⑤×⑦得，⑥×⑧得
两式相加，得
又点A，B在圆x2+y2=3上，∴，且λ≠±1
即x+3y=3，故点Q总在直线x+3y=3上
方法二：
由，可得（1-x1，3-y1）=-λ（x2-1，y2-3），∴，
由，可得（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y），∴，
∴，∴（*）
当斜率不存在时，由特殊情况得到，
当斜率存在时，设直线为y=k（x-1）+3，
∴，
代入（*）得，而y=k（x-1）+3，消去k，得x+3y=3
而满足方程，∴Q在直线x+3y=3上．