Question

下列关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的判断正确的是（ ）
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-）是极小值，f（）是极大值；
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
A．①③
B．①②③
C．②
D．①②

Answer

令f（x）＞0可解x的范围确定①正确；
对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．
根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确．从而得到答案．
【解析】
由f（x）＞0⇒（2x-x2）ex＞0⇒2x-x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=ex（2-x2），由f′（x）=0得x=±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜-，
由f′（x）＞0得-＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-），（，+∞）．单调增区间为（-，）．
∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（-），故②正确．
∵x＜-时，f（x）＜0恒成立．
∴f（x）无最小值，但有最大值f（）
∴③不正确．
故选D．