Question

设函数f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m•g（x）在区间[]上是单调减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（I）欲求函数f（x）和g（x）的解析式利用在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用斜率相等列出等式．从而求出a，b．
（Ⅱ）由于F（x）=f（x）-mg（x）=x3+x-2mx2，求出其导数得F'（x）=3x2-4mx+1，原问题等价于3x2-4mx+1≤0在区间[]上恒成立，最后利用二次函数的图象与性质解决即得．
【解析】
（I）f'（x）=3x2+a，g'（x）=4x
，
∴
∴f（x）=x3+x，g（x）=2x2

（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-mg（x）=x3+x-2mx2
∴F'（x）=3x2-4mx+1若x∈[，3]时，F（x）是减函数，
则3x2-4mx+1≤0恒成立，
得
∴．
实数m的取值范围．