Question

已知函数若∃x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer

由题意可得，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可求得结论．
【解析】
若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调．
①当a=0时，f（x）=满足题意
其其图象如图所示，满足题意

②当a＜0时，函数y=-x2+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意

③当a＞0时，函数y=-x2+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调

则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或
∴0＜a＜1或a＞2，
综合得：a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）．