Question

已知函数在（x，0）处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求x和b的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内f（x）≥0恒成立；
（Ⅲ） 若函数有最小值m，且m＞2e，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，由函数在（x，0）处的切线斜率为零，即可求x和b的值；
（Ⅱ）确定f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，可得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值，即可证得结论；
（Ⅲ）由（x＞0），分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，结合函数有最小值m，且m＞2e，即可求实数a的取值范围．
（Ⅰ）【解析】
求导函数可得．…（2分）
由题意有f'（x）=0，即，解得x=e或x=-3e（舍去）．…（4分）
∴f（e）=0即，解得．            …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
f'（x）=．
在区间（0，e）上，有f'（x）＜0；在区间（e，+∞）上，有f'（x）＞0．
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，
于是函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．                       …（9分）
故当x＞0时，有f（x）≥0恒成立．                                   …（10分）
（Ⅲ）【解析】
（x＞0）．
当a＞3e2时，则，当且仅当时等号成立，
故F（x）的最小值＞2e，符合题意；                  …（13分）
当a=3e2时，函数F（x）=x+2e在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当a＜3e2时，函数在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数a的取值范围是（3e2，+∞）．                                    …（14分）