Question

已知函数f（x）=lnax-（a≠0）
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+…+，其中e为自然对数的底数；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）求导数，对a进行讨论，确定函数f（x）的定义域，可得函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）取a=2，证明（x＞0），取x=1，2，3…，n，即可证得结论；
（Ⅲ）假设存在这样的切线，确定切线方程，将切点坐标代入，再构建函数，利用函数在其定义域上的单调性，即可的符合条件的切线．
（Ⅰ）【解析】
由题意．      …（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故，无最大值． …（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，
故，无最大值．…（5分）
（Ⅱ）证明：取a=2，由（Ⅰ）可知：，
故，∴，（x＞0）
取x=1，2，3…，n，则．…（10分）
（Ⅲ）【解析】
假设存在这样的切线，设其中一个切点T（），
∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：ln，
即ln，…①
设g（x）=lnx+，则．
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2．+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+．
又，（也可以求等等）
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在内有且仅有一根
方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（15分）