Question

在锐角△ABC中，cos B+cos （A-C）=sin C．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 当BC=2时，求△ABC面积的最大值．

Answer

（Ⅰ） 由cos B+cos （A-C）=sin C，利用两角和与差的三角函数展开可求sin A，进而可求A
（Ⅱ） 由题 a=2，结合余弦定理4=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc，利用基本不等式可求bc的范围，进而可求三角形面积的最大值
（Ⅰ） 【解析】
因为cos B+cos （A-C）=sin C，所以-cos （A+C）+cos （A-C）=sin C，得
2sin A sin C=sinC，故sin A=．
因为△ABC为锐角三角形，所以A=60°．
（Ⅱ） 【解析】
设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由题意知 a=2，由余弦定理得
4=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc≥bc，所以△ABC面积=bcsin60°≤，
且当△ABC为等边三角形时取等号，所以△ABC面积的最大值为．