Question

已知等比数列{a_n}中，a₄-a₂=a₂+a₃=24．记数列{a_n}的前n项和为S_n
（I） 求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}中，b₁=2，b₂=3，数列{b_n}的前n项和T_n满足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．求：的值．

Answer

（I） 设出等比数列的首项与公比，通过关系式求出首项与公比，即可求数列{an}的通项公式；
（II）利用（I）求出前n项和，通过数列{bn}中，数列{bn}的前n项和Tn满足：Tn+1+Tn-1=2Tn+1（n≥2，n∈N*）．推出数列的第n项与第n+1的关系，说明数列是等差数列，求出通项公式，即可求的值．
【解析】
（I）设等比数列的首项为a1，公比为q，因为a4-a2=a2+a3=24．
所以a1q3-a1q=a1q+a1q2=24，解得q=2或q=-1
若q=-1，则a1q3-a1q=0，所以q=-1（舍去），
∴q=2，a1=4，
数列{an}是等比数列，首项为4，公比为2，它的通项公式为：4×2 n-1=2n+1．
（II） 求数列{an}的前n项和为：，
数列{bn}中，b1=2，b2=3，数列{bn}的前n项和Tn满足：Tn+1+Tn-1=2Tn+1（n≥2，n∈N*）．
所以bn+1+bn+2Tn-1=2Tn-1+1+2bn，所以bn+1-bn=1，
所以数列{bn}是等差数列，首项为1，公差为1，所以bn=n，
==2•2n-2+2n=2n-2．