Question

设在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为S_n，若恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的定义及通项公式即可得出；
（Ⅱ）利用等比数列的前n项和公式、函数的单调性即可得出．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）．由题意，
得，解得d=q=3．
∴an=3n-2，．
（Ⅱ）∵cn==3bn-2=3×2×3n-1-2=2×3n-2．
∴Sn=c1+c2+…+cn=2×（31+32+…+3n）-2n
=
=3n+1-3-2n．
∴==3n+1．
∵恒成立，∴3n+1＜2×3n+t恒成立，即t＞（-3n+1）max，n∈N*．
由于函数y=-3x+1在（0，+∞）上单调递减，
∴-3n+1≤-31+1=-2，
故t＞-2．