Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，且满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求和；
（3）设有m项的数列{b_n}是连续的正整数数列，并且满足：．
问数列{b_n}最多有几项？并求这些项的和．

Answer

（1）利用an+1=Sn+1-Sn，即可求得an+1=2an．，继而可证明数列{an}为等比数列，利用等比数列的概念即可求数列{an}的通项公式；
（2）由（1）知Sn=2n-1，将其代入S1•+S2•+S3•+…+Sn+1•，分组求和．利用二项式定理即可求得其结果；
（3）利用对数的性质可得到2••…=m-1，利用{bn}是连续的正整数数列，且满足上式，可化为=m-1，利用bm=b1+（m-1），消bm即可求得答案．
【解析】
（1）由Sn=2an-1得Sn+1=2an+1-1，相减得an+1=2an+1-2an，即an+1=2an．
又S1=2a1-1，得a1=1≠0，
∴数列{an}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴an=2n-1．…（5分）
（2）由（1）知Sn=2n-1，
∴S1•+S2•+S3•+…+Sn+1•
=（21-1）•+（22-1）•+（23-1）•+…+（2n+1-1）•
=2（+2+22+…+2n）-（+++…+）
=2（1+2）n-2n
=2•3n-2n…（10分）
（3）由已知得2••…=m-1．
又{bn}是连续的正整数数列，
∴bn=bn-1+1．
∴上式化为=m-1．
又bm=b1+（m-1），消bm得mb1-3b1-2m=0．
m==3+，由于m∈N*，
∴b1＞2，
∴b1=3时，m的最大值为9．
此时数列的所有项的和为3+4+5+…+11=63…（16分）