Question

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意知F1（-c，0），F2（c，0），A（0，b），由知F1为BF2的中点，由AB⊥AF2，知Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由，知，，，Rt△ABF2的外接圆圆心为（-，0），半径r=a，所以，由此能求出椭圆方程．
（Ⅲ）由F2（1，0），l：y=k（x-1），设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，由此能求出m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意知F1（-c，0），F2（c，0），A（0，b）
∵知F1为BF2的中点，
AB⊥AF2
∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，
又a2=b2+c2
∴a=2c
故椭圆的离心率…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，
于是，，
Rt△ABF2的外接圆圆心为（-，0），半径r=a，
所以，解得a=2，
∴c=1，，
所求椭圆方程为…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x-1），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
则，
y1+y2=k（x1+x2-2）…（8分）

由于菱形对角线垂直，
则
故x1+x2-2m+k（y1+y2）=0
即x1+x2-2m+k2（x1+x2-2）=0，
…（10分）
由已知条件知k≠0，
∴
∴故m的取值范围是．…（12分）