Question

已知点P是双曲线C：左支上一点，F₁，F₂是双曲线的左、右两个焦点，且PF₁⊥PF₂，PF₂与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF₂，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．2
C．
D．

Answer

在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，根据三角形的中位线定理得出ON∥PF1，从而得到∠PF1F2正切值，可设PF2=bt．PF1=at，再根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得．
【解析】
在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，
∴ON∥PF1，又ON的斜率为，
∴tan∠PF1F2=，
在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，
根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②
由①②消去t，得，
又c2=a2+b2，
∴a2=（b-a）2，即b=2a，
∴双曲线的离心率是=，
故选A．